グラフ理論によって拡張され，高速に多頻度部分グラフの完全探索を行うagm が発表され た（Inokuchi et al., 2000）．これらの先駆的研究の後，グラフマイニング研究は急速に盛んに
グラフ理論 テキスト s s s A A A A A A s s s s @ @ @ @ @ @ s s s s s B B B BB Q Q Q QQ L L L L L L LL b b b b b b bb " " " " " """ 〒240-8501 横浜市保土ヶ谷区常盤台79-2 横浜国立大学環境情報研究院 グラフ探索アルゴリズム •以下のアルゴリズムでグラフの頂点を 1 つず つ取り出す –「適切に」「なにか」は用いるアルゴリズムによる ≔𝑉. while が空でない: ∈ を「適切に」選ぶ. から を取り除く. グラフ理論2005 担当: 大学院情報科学研究科井上純一 e e1 e2 G1 G2 G3 C1 C2 C3 図67: 図のように辺e, 及び, 辺e1,e2 が三角形をなしている場合には, カットセット{e,e1},{e,e2} 以外に必ず, {e1,e2} を選ぶ グラフGの任意の誘導部分グラフH の最小次数 d min(H) の 最大値をmaxfd min(H)gとした場合, ˜(G) maxfd min(H)g+1 Kempeのアルゴリズム フェーズ1: d min(G) の点をスタックに入れて除去す る フェーズ2:スタックに入れた点へ色を割り当たって グラフへ返す h c g k d j f e b グラフ理論2003 ～2007 北海道大学大学院情報科学研究科井上純一 P T Q S R 図1.1: この講義で扱う「グラフ」の一例. このグラフの点数はn =5,辺数はm =8であり, それぞれの点の次数はdeg(P)= アルゴリズム論03-10 Copyright 2003 (C) Nagata and Sakurai, All righ ts reserved. 4 グラフ理論からの補足（3） 平面グラフ（A Planar Graph）
グラフマイナー / アルゴリズム / 多項式時間 / 平面グラフ / 曲面上のグラフ / マイナー操作 / セパレイター / 最短パス / グラフ / マイナー / グラフマイナー理論 / 点素パス問題 研究概要 本年度は,主にセパレイターを研究した.1970年代 ことである。オイラー閉路が存在する無向グラフをオイラーグラフという。グラフ理論の創始者はオイ ラー（1707-1783）で、グラフ理論に関する最初の論文(1736 年)は「ケーニヒスべルクの橋の問題」に 端を発している。 グラフ理論 テキスト s s s A A A A A A s s s s @ @ @ @ @ @ s s s s s B B B BB Q Q Q QQ L L L L L L LL b b b b b b bb " " " " " """ 〒240-8501 横浜市保土ヶ谷区常盤台79-2 横浜国立大学環境情報研究院 グラフ探索アルゴリズム •以下のアルゴリズムでグラフの頂点を 1 つず つ取り出す –「適切に」「なにか」は用いるアルゴリズムによる ≔𝑉. while が空でない: ∈ を「適切に」選ぶ. から を取り除く. グラフ理論2005 担当: 大学院情報科学研究科井上純一 e e1 e2 G1 G2 G3 C1 C2 C3 図67: 図のように辺e, 及び, 辺e1,e2 が三角形をなしている場合には, カットセット{e,e1},{e,e2} 以外に必ず, {e1,e2} を選ぶ グラフGの任意の誘導部分グラフH の最小次数 d min(H) の 最大値をmaxfd min(H)gとした場合, ˜(G) maxfd min(H)g+1 Kempeのアルゴリズム フェーズ1: d min(G) の点をスタックに入れて除去す る フェーズ2:スタックに入れた点へ色を割り当たって グラフへ返す h c g k d j f e b グラフ理論2003 ～2007 北海道大学大学院情報科学研究科井上純一 P T Q S R 図1.1: この講義で扱う「グラフ」の一例. このグラフの点数はn =5,辺数はm =8であり, それぞれの点の次数はdeg(P)=
問2.1. 7頂点上の適当なグラフを考案して，そのグラフに対する図1 のアルゴリズムの動作及び 出力を示しなさい． 証明. 図1 のアルゴリズムの出力をS，最適解をS とする．まず，グラフG = (V;E) の辺集合E を以下のように分割する．任意のi 2 [n]nf1g について 距離遺伝2 部グラフ上のハミルトン閉路アルゴリズム An algorithm for the Hamiltonian circuit problem on bipartite distance-hereditary graphs 高須賀将秀 * 平田 富夫 * 1 はじめに ハミルトン閉路問題は有名な NP 完全問題であるが， グラフを制限することで多項式時間で解ける 辺素な道問題や様々の理論的 様々な問題に対し効 グラフ分割問題な結果 率のよい アルゴリズム 応用グラフ理論 Gを完全二部グラフKn,n でない連結二部グラフとするとき，Gは均等∆-彩色可能である。 完全二部グラフKn,n は均等2-彩色可能であるから，上の定理によって連結二部グラフ の場合には，∆ ≤ k ならばχe(G) ≤ k であることが示されたことになる。 3 アルゴリズム ¶ オイラー ‡ Leonhard Euler (1707−1783)． スイスの数学者．グラフ理論を含む多くの数学の分野の始祖． 18 世紀最大の数学者．数学の歴史の中でも数人中の一人に数えられ
無向グラフ中の部分グラフの中で、完全グ ラフでサイズが最大のものを選び出す、組 み合わせ最適化問題の一種 np困難…グラフサイズが大きい→計算時間 が膨大 ↑黄色が最大クリーク
造グラフにいくつか枝を付け加えてコーダルグラフにし, 得られたグラフ (コーダル拡張グラフ) の構造を用. いて $H_{k}$. を更新する 完全であるため, それを近似的に解く実用的なヒューリスティックアルゴリズムがいくっか提案されている. その中でも, Xue の グラフアルゴリズムの最先端 近年の組合せ剛性理論の成果によって剛性や大域剛性といった幾何的・代数的性質に潜む組合せ的側面が解明され，様々なモデルの 一方，図1(d)のような完全グラフでは動きに自由度のない安定的な状態と考えられる． 特に，彼が提唱しているアルゴリズム的グラフマイナー理論（Algorithmic 河原林氏は慶応大学の博士課程でグラフ理論を学び，1 年間で博士の学位を 2001 年に取得 頂点数ｋの完全グラフをマイナーに持たないグラフはk－1色に彩色できるという四色. 2007年6月25日 第5回 グラフ理論---要素同士のつながり方を「点」と「辺」で分析する · 第6回 オペレーションズ・リサーチ(OR)--- 第9回 アルゴリズムの設計技法---3つの基本技法を駆使して，「難問」解決にチャレンジ · 第10回 OSI基本参照モデル---7階層 ここでは、グラフのプロパティの一部のみを示します。完全な一覧については、GraphPlot のプロパティ を参照してください。 'ArrowSize